最大公約数・最小公倍数
要点
最大公約数・最小公倍数
2つ以上の整数に共通な約数を, それらの公約数といい, 公約数のうち最大のものを最大公約数という。
また2つ以上の整数に共通な倍数を,それらの公倍数といい, 公倍数のうち最小のものを最小公倍数という。
最大公約数と最小公倍数の求め方
各数を素因数分解して
共通な素因数に, 最も小さい指数をつけて掛け合わせると最大公約数になり,
すべての素因数に, 最も大きい指数をつけて掛け合わせると最小公倍数になる。
【例】 120と36
120=23・3・536=22・32
最大公約数 22・3=12 共通な素因数2,3にそれぞれ小さい方の指数をつける
最小公倍数 23・32・5 =360
すべての素因数2,3,5にそれぞれ大きい方の指数をつける
互いに素
2つの整数a,bの最大公約数が1であるとき, a, bは互いに素であるという。
a, bが互いに素であることと,a,bに共通な素因数がないことは同じことである。
a,bが互いに素である場合。
整数kについて, akがbの倍数なら, kはbの倍数である。
また, aの倍数であり, bの倍数でもある整数は, abの倍数である。
最大公約数と最小公倍数の性質
2つの自然数a, bの最大公約数をg, 最小公倍数をlとする。
a=ga', b=gb'であるとすると、次のことが成り立つ。
① a'とb'は互いに素である。
② l=ga'b'
③ ab=gl