最大公約数・最小公倍数と数の決定

2つの自然数a, bの最大公約数をg, 最小公倍数をlとして
a=ga', b=gb'とすると
① a'とb'は互いに素
② l=ga'b'
③ ab = g²a'b' = gl

次の条件を満たす自然数a, bの組をすべて求めよ。ただし a<bとする。 最大公約数が15, 最小公倍数が210 和が42, 最大公約数が6 積が300, 最大公約数が5 積が864, 最小公倍数が72

最大公約数が15であるから
a=15a', b=15b' (a',b'は互いに素な自然数で a'<b')
と表される。
また, 最小公倍数が210であるから
15a'b'=210
よってa'b'=14
これを満たす自然数a',b'の組は
(a', b') = (1, 14), (2, 7)
したがって (a, b) = (15, 210), (30, 105) 最大公約数が6であるから
a=6a', b=6b' (a',b'は互いに素な自然数で a'<b')
と表される。
また, 和が42であるから 6a'+6b' = 42
すなわち　a'+b' =7
これを満たす自然数a', b'の組は
(a', b') = (1, 6), (2,5), (3,4)
したがって(a, b) = (6, 36), (12, 30), (18, 24) 最大公約数が5であるから
a=5a', b=5b' (a',b'は互いに素な自然数で a'<b')
と表される。
また, 積が300であるから　25a'b' = 300
a'b' = 12
これを満たす互いに素な自然数a', b'の組は
(a', b') = (1, 12), (3, 4)
したがって(a, b) = (5, 60), (15, 20) 積が864, 最小公倍数が72 最大公約数をgとすると
積が864, 最小公倍数が72であるから 864 = 72g
よって g=12
a=12a', b=12b' (a',b'は互いに素な自然数で a'<b')
と表される。
すると 12a'b' =72　
よって a'b' =6
これを満たす互いに素な自然数a', b'の組は
(a', b') = (1, 6), (2, 3)
したがって(a, b) = (12, 72) (24, 36)