倍数についての証明問題
aは自然数とする。a+2は5の倍数であり,a+4は3の倍数であるとき,a+7は15の倍数であることを証明せよ。
a+2, a+4は, 自然数m,nを用いて
a+2=5m, a+4=3n と表される。
a+7 = (a+2)+5 = 5m+5 = 5(m+1)
a+7 = (a+4)+3 = 3n+3 = 3(n+1)
よって 5(m+1) = 3(n+1)
5と3は互いに素なので, m+1は3の倍数となる。
したがって m+1 = 3k (kは自然数)
ゆえに a+7 = 5(m+1) = 15k
よって a+7は15の倍数である。
aは自然数とする。a+1は7の倍数であり,a+6は2の倍数であるとき,a+8は14の倍数であることを証明せよ。
a+1, a+6は, 自然数m,nを用いて
a+1=7m, a+6=2n と表される。
a+8 = (a+1)+7 = 7m+7 = 7(m+1)
a+8 = (a+6)+2 = 2n+2 = 2(n+1)
よって 7(m+1) = 2(n+1)
7と2は互いに素なので, m+1は2の倍数となる。
したがって m+1 = 2k (kは自然数)
ゆえに a+8 = 7(m+1) = 14k
よって a+8は14の倍数である。