円順列・重複順列

円順列では回転して並びが同じになるものがある。
そのため普通の順列を考えて、同じものの個数で割る。
n個の場合、同じものはnできるので、_nP_n÷n=(n-1)!

または、１つを固定して残りで順列をつくる。
n個の場合、1つ固定して(n-1)個の順列なので_n-1P_n-1=(n-1)!

異なるn個からr個とって並べる順列では、同じものがr個できるので
_nP_r÷r=_nP_rr となる。

異なるn個のものの円順列 (n-1)!
異なるn個からr個とって並べる円順列 _nP_rr

【例】
7人の生徒が円形のテーブルに着席する並び方
(7-1)!=6!=720 通り

じゅずつなぎの輪をつくる場合、裏返すと同じものがあるので、円順列を2で割る
(n-1)!÷2=(n-1)!2

【例】
異なる5種類の石でネックレスをつくる方法は何通りか。
(5-1)!÷2=4!÷2= 12通り

異なるn個のものから重複をゆるしてr個取り出してならべる順列を重複順列という。

【例】1,2,3の3つの数字で重複をゆるして4桁の数字をつくる

各桁は1,2,3の3通り使えるので3⁴=81通り

異なるn個のものから重複をゆるしてr個並べる並べ方は n^r

異なるn個のものを区別のある2つの箱に入れる入れ方

空の箱ができてもいい場合
1つのものについてAまたはBの2通りの選び方があるので 2ⁿ(通り)
空の箱ができてはいけない場合
Aにすべて入るのと、Bにすべてはいるので2通りをひく　2ⁿ-2(通り)

異なるn個のものを区別のない2つの箱に入れる入れ方

上記の箱の区別をなくすために2で割る
空箱ができてもいい場合　2^n-1(通り)
空箱ができてはいけない場合　　2^n-1-1(通り)