塗り分け(立体)

１．　次のように正四面体を塗り分ける方法は何通りあるか。
ただし回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
4色を使って各部分すべて異なる色に塗り分ける
5色のうち4色を使って各部分すべて異なる色に塗り分ける
2. 次のように正三角柱を塗り分ける方法は何通りあるか。
ただし回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
4色を使って塗り分ける。ただし隣り合う面は異なる色にする。
5色を使って各部分すべて異なる色に塗り分ける
6色のうち5色を使って各部分すべて異なる色に塗り分ける

面の数より色数が多いときは
色を選んでから、塗り分ける
面の数より色数が少ないときは
同色になる色を選んでから、塗り分ける

1.
① 全ての面が対等でどの面も底面になりうるので1面を固定して、のこり3つでの円順列　(3-1)!=2通り
② 5色のうち4色を選ぶ選び方は5通り
その各々について２通り(①)の塗り方がある
5×2=10通り
2.
　底面を先に考える
①隣り合う面を異なる色にして4色で塗る場合、2つの底面が同色になる。
4色のうち同色となる色を選ぶ方法は4通り
底面が同色ならひっくり返しても同じなので側面はじゅず順列になる。
３色なので　(3-1)!÷2=1
4×1=4通り
② 2つの底面を塗る２色を選ぶ選び方は 5×4÷2=10
側面は残りの３色で円順列　(3-1)!=2
よって10×2=20通り