組分け(3組)

n人をA,B,Cの3部屋に入れる方法は何通りか。ただし、全員が1つの部屋に入ってもよい。
n人を3つの組A,B,Cに分ける方法は何通りか。
n人を3組に分ける方法は何通りか。

①
n人それぞれがA,B,Cの3通り選べるので　3ⁿ通り
②
①のうち、全員が1部屋になって、2部屋が空になるのは3通り。
Aが1部屋だけ空になるのはn人を区別ある2組に分ける分け方なので2ⁿ-2
A,B,Cの3部屋なので(2ⁿ-2)×3
これらを①から引くので　3ⁿ-3-(2ⁿ-2)×3=3ⁿ-3・2ⁿ+3(通り)
③
②の区別をなくすので A,B,Cの順列₃P₃で割る
3ⁿ-3・2ⁿ+33!=3^n-1-2ⁿ+12(通り)