正弦定理・余弦定理

A<90°のとき

Bを通る直径をBDとする。
直径の円周角は90°なので∠DCB=90°
等しい弧に対する円周角は等しいので∠BDC=A
a=2R sin∠BDC= 2R sinA
よって asinA= 2R
A=90°のとき

a=2R, sin90°=1より a=2R = 2R sin90°= 2R sinA
よって asinA= 2R
A>90°のとき

Bを通る直径をBDとする。
直径の円周角は90°なので∠BCD=90°
円に内接する四角形の対角の和は180°なので∠BDC=180°−A
a = 2R sin(180°−A) = 2R sinA
よって asinA= 2R
[i][ii][iii]より asinA= 2R
同様にbsinB= 2R, csinC = 2R
したがってasinA = bsinB = csinC = 2R

△ABCの頂点Cから辺ABにおろした垂線の足をHとする。
三平方の定理から
a²=CH²+BH²・・・①
CH²=b²−AH²・・・②
①に②を代入すると
a²=b²−AH²+BH²・・・①'
また
AH=b cosA・・・③
BH=c−AH=c−b cosA・・・④
③,④を①'に代入すると
a² = b²−b²cos²A+(c−b cosA)²
　= b²−b²cos²A+c²−2bc cosA+b²cos²A
　= b²+c²−2bc cosA