組合せ

n個からr個取る組合せを　_nC_r とあらわす。

例
(A,B,C)という3つの文字について
3個のものから3個取り出して並べる順列は₃P₃=3!=6である。
順列では(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)を異なるものとして数える。
組合せでは(A,B,C)はこの組しかないので₃C₃=1となる。

例
₅P₃では5個から3個取り出して並べるが、
取り出す組合せと並べ方を分けて考えると
5個から3個取り出す組合せは₅C₃、取り出した3個の並べ方は3!なので
₅P₃=₅C₃×3!と表せる。
これを一般化して _nP_r= _nC_r×r! が得られる

組合せの総数
_nC_r=_nP_rr!=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)r!
_nC_r=n!r!(n-r)!
0!=1から _nC_n=1, 　 _nC₀=1

【例】 ₇C₃ = 7・6・5÷3!=35　　₁₂C₄=12・11・10・9÷4!=495

異なるn個からr個を取り出すとき、r個選ぶことと残す(n-r)個を選ぶことは同じなので
_nC_r = _nC_n-rである。

n個の文字(A,B,C・・・・)からr個取り出すとき、
特定の文字Aを含む組合せは
先にAを取り出しておいて、のこりから(r-1)個取り出す組合せである。
_n-1C_r-1
特定の文字Aを含まない組合せは
Aを含まない(n-1)個からr個取り出す組合せである
_n-1C_r
和の法則から　_nC_r=_n-1C_r-1+_n-1C_rとなる。

_nC_rの性質
_nC_r = _nC_n-r 　ただし0≦r≦n
_nC_r=_n-1C_r-1+_n-1C_r　ただし1≦r≦n-1, n≧2

【例】 ₁₆C₁₄=₁₆C₂=16・15÷2!=120