更新日2016/05/08

実数と平方根

要点

実数

自然数
整数0
有理数負の整数
有限小数
実数循環小数
 
 無理数(循環しない無限小数)

自然数 => 正の整数(1, 2, 3, … 100,…)
負の整数 => -1, -2, -3, …-100,…)
整数 => 自然数と0と負の整数
有理数 => mn の形で表される数 ( m,nは整数、n≠0) 有理数には整数以外に有限小数と循環小数が含まれる。
有限小数 => 14=0.25
循環小数 => 113=3.666…

小数部分が無限に続く小数を無限小数といい、小数第何位かで終わるものを有限小数という。
無限小数のうち数字の配列が繰り返されるものが循環小数である。例題 ≫
無理数 => 有理数でない数を無理数という。無理数は無限小数のうち循環しない小数になる。
無理数の例2=1.41421356…

絶対値

数直線上で座標aの点Pがある。
原点Oと点Pとの距離を絶対値といい、記号|a|であらわす。
絶対値の性質
|a|≧0
a≧0のとき|a|=a
a<0のとき|a|=−a

例題 ≫

平方根

2乗してaになる数をaの平方根という。

正の数aの平方根は2つあり、絶対値が等しく符号が反対。 aと−aである。
0の平方根は0だけ、0=0
負の数の平方根は実数の範囲では存在しない。

a≧0のとき
 a>0、  (a)2 = (−a)2 = a

a2 = |a|
つまり
a≧0 ならa2 = a
a<0ならa2 = −a

平方根の公式

平方根の計算は次の公式を利用して行う。
a>0, b>0, k>0のとき
① ab = ab
② ab = ab
③ k2a = ka

証明①
(ab)2 =(a)2(b)2=ab
a>0, b>0よりab>0
よって abはabの正の平方根となる。
つまりab=ab

(ab)2 = (a)2(b)2 = ab
a>0、b>0よりab>0
よってabab の正の平方根である。
つまりab = ab

①より k2a = k2a = ka

分母の有理化

分母に根号を含む式を変形し、分母に根号を含まない式にすることを分母を有理化するという。

例題と練習

問題

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