式の値

x,yの対称式(xとyを入れ替えても変わらない式)は、x+yとxyで表すことができる。
xⁿ+1xⁿ の形の式はx+1x だけで表せる。

(1) x=2−32+3 , y=2+32−3 のとき、次の式の値を求めよ。
xy x+y x²+y² x³+y³
(2)x+1x =7のとき次の式の値を求めよ。
x²+1x² x³+1x³ x⁵+1x⁵

(1)
③と④については、単純に代入してもできるが、①,②の結果が使えるように変形したほうが確実である。
(x+y)²=x²+2xy+y²より x²+y²=(x+y)²−2xy
x³+y³=(x+y)(x²−xy+y²)
(2)
x²+1x² =(x+1x )²-2x・1x
x³+1x³ =(x+1x )(x²-x・1x +1x² )
(x²+1x² )(x³+1x³ )=x⁵+1x +x+1x⁵ より
x⁵+1x⁵ = (x²+1x² )(x³+1x³ )−(x+1x)

(1)
①
2−32+3 ×2+32−3 =1
②
2−32+3 +2+32−3 =(2−3)²+(2+3)²1 =14
③
x²+y²=(x+y)²−2xy=196-2=194
④
x³+y³=(x+y)(x²−xy+y²)=14×(194-1)=2702
(2)
⑤
x²+1x² =7²−2 = 5
⑥
x³+1x³ = 7×(5−1) = 47
⑦
x⁵+1x⁵ = 5×47−7 = 197