整数の割り算と商・余り
要点
割り算における商・余り
整数aと正の整数bにたいして
a=bq+r, 0≦r≦b
を満たす整数qとrは1通りに定まる。
a=bq+rにおいて
qは aをbで割ったときの商,
rは aをbで割ったときの余り という。
また, r=0のときaはbで割り切れるといい, r≠0なら割り切れないという。
余りによる整数の分類
すべての整数は 正の整数m, 整数kを用いて
mk, mk+1, mk+2, ・・・・, mk+(m-1)
のいずれかの形に表される。
【例】
整数を2で割ったときのあまりは0,1のいずれかなので
すべての整数は 2k, 2k+1 のいずれかの形で表せる。
2kは偶数, 2k+1は奇数である。
割り算の余りの性質
m,kを正の整数, a,b,q,q',r,r'を整数とする。
a=mq+r, b=mq'+r' のとき
① a+bをmで割ったあまりは r+r'をmで割った余りに等しい。
② a-bをmで割ったあまりは r-r'をmで割った余りに等しい。
③ abをmで割ったあまりは rr'をmで割った余りに等しい。
④ akをmで割ったあまりは , rkをmで割った余りに等しい。