割り算の余り

割られる数 = (割る数) × (商) + (余り)

a, bは整数で, aを5で割ると4余り, bを5で割ると3余る。このとき, 次の数を5で割ったときの余りを求めよ。
a+b 2a+b ab a² a¹⁹⁶⁵

【割り算の余りの性質】
m,kを正の整数, a,b,q,q',r,r'を整数とする。
a=mq+r, b=mq'+r'　のとき
・ a+bをmで割ったあまりは r+r'をmで割った余りに等しい。
・ a-bをmで割ったあまりは r-r'をmで割った余りに等しい。
・ abをmで割ったあまりは rr'をmで割った余りに等しい。
・ a^kをmで割ったあまりは , r^kをmで割った余りに等しい。

a+bを5で割ったあまりは 4+3を5で割った余りに等しいので
求める余りは 2 2を5で割った余りは2なので, 2aを5で割った余りは2・4=8を5で割った余り3に等しい。
したがって2a+bを5で割った余りは3+3=6を割った余りに等しい。
よって求める余りは1 abを5で割った余りは 4・3=12を5で割った余りに等しいので
求める余りは2 a²を5で割った余りは4²=16を5で割った余りに等しいので
求める余りは1 ④よりa²を5で割った余りが1なので
a¹⁹⁶⁵=(a²)⁹⁸²・aであるから
求める余りは1⁹⁸²・4を5で割った余りに等しい。
よって求める余りは4