同じものを含む順列、重複組合せ

例
a5個、b3個、c2個の合計10個の文字をすべて1列に並べる順列の総数
【考え方1】同じ文字の位置を選ぶ
先頭から最後尾まで10個の場所からaを置く位置を5つ選ぶ　₁₀C₅
のこりの場所からbを置く位置を3つ選ぶ　₅C₃
のこりの場所からcを置く位置を2つ選ぶ　　₂C₂
よって₁₀C₅×₅C₃×₂C₂=10・9・8・7・65!×5・4・33!×2・12!=10!5!3!2!

【考え方2】異なるものとして順列を求めて、同じもので割る
10個並べる順列₁₀P₁₀=10!
a5個がおなじなので ₅P₅=5!通り同じものがある
b3個がおなじなので ₃P₃=3!通り同じものがある
c2個がおなじなので ₂P₂=2!通り同じものがある
よって10!5!3!2!

n個のもののうち、p個は同じもの、q個は別の同じもの,r個はまた別の同じもの・・・のとき、これらすべて1列に並べる順列の総数
n!p!q!r!・・・　ただし、p+q+r+・・・=n

【例】
a,a,a,a,b,b,b,c,cの9個をすべて並べる順列
9！4!3!2!=1260通り

異なるn個から重複を許してr個取る組合せが重複組合せである。
その総数は _nH_rと表す。

例
3個の文字A,B,Cから重複を許して6個取る組合せの総数
6個の○と2つの仕切り|で順列を作り、仕切られた左がa,真ん中がb,右がcとする。
○○○|○|○○　→　aaabcc
○||○○○○○　→　accccc
○○○○○○||　→　aaaaaa
すると　₃H₆は○6個と|2個の同じものを含む順列に等しくなる。
よって　₃H₆ = 8！6!2!=28通り
これを一般化すると　_nH_r=_n+r-1C_rである。

【例】 a,b,c,dの4つの文字から重複を許して6個取る組合せの総数
9・8・73!=84通り