更新日2019/09/05

絶対値を含む不等式(場合分け)

方程式、不等式に絶対値が含まれるとき、場合分けして絶対値を外し計算する。
A≧0なら|A|=A、 A<0なら|A|=−A

次の不等式を解け
(1)|x−2|>2x (2)|2x−4|<|x+1|

(1)
[i]x≧2と [ii]x<2で場合分けしてそれぞれの条件で不等式を解く。
[i][ii]で出た範囲を合わせる
(2)
2x−4=0はx=2, x+1=0はx=−1なので
[i]x<−1, [ii]−1≦x<2, [iii]x≧2で場合分けしてそれぞれの条件で不等式を解く。
[i], [ii], [iii]で出た範囲を合わせる。

(1)
[i]x≧2のとき |x−2|=x−2なので
x−2>2x
−x>2
x<−2 これはx≧2を満たさない。
[ii] x<2のとき |x−2|=−(x−2)なので
−x+2>2x
−3x>−2
x<23 x<2との共通範囲はx<23
[i][ii]よりx<23
(2)
[i] x<−1のとき
|2x−4|=−2x+4, |x+1|=−x−1なので
−2x+4<−x−1
−x<−5
x>5 これは x<−1を満たさない。
[ii] −1≦x<2のとき
|2x−4|=−2x+4, |x+1|=x+1なので
−2x+4<x+1
−3x<−3
x>1
−1≦x<2との共通範囲は1<x<2
[iii]x≧2のとき
|2x−4|=2x−4, |x+1|=−x−1なので
2x−4<x+1
x<5
x≧2との共通範囲は2≦x<5
[i][ii][iii]範囲を合わせると1<x<5

|2x−6|>x+9x<−1, 15<x |3x−3|≦−x+7−2≦x≦52 |2x+1|<x+343 <x<2 |2x|+|x−5|<613 <x<1 |x|+|6−3x|≧2xx≦32 、3≦x |4x+12|−|2x|≦3x+9215 ≦x≦−1 , 3≦x
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