約数と倍数
a=bk (a,b,kは整数)
「aはbの倍数」「bはaの約数」
a,bは整数とする。
a,bがともに3の倍数なら a2+b2は9の倍数であることを証明せよ。
a, bは3の倍数であるから, 整数k, lを用いて
a=3k, b=3lと表される。
よって
a2+b2 = (3k)2+(3l)2 = 9k2+9l2 = 9(k2+l2)
k2+l2は整数であるから, a2+b2は9の倍数である。
a,b,c,dは整数とするとき,次のことを証明せよ。
a,bがともに4の倍数なら 3a+7bは4の倍数である。 a,bは4の倍数なので, 整数k, lを用いて
a= 4k, b=4lと表される。
よって
3a+7b = 3・4k+7・4l = 4(3k+7l)
3k+7lは整数であるから, 3a+7bは4の倍数である。
aとa+bがともに 9の倍数なら bは9の倍数である a, a+bは9の倍数であるから, 整数k, lを用いて
a= 9k, a+b=9l と表される。
よって
b = 9l -a = 9l -9k = 9(l-k)
l-k は整数であるから, bは9の倍数である。
a,bがともに5の倍数なら a2+2abは25の倍数である a, bは5の倍数であるから, 整数k, lを用いて
a=5k, b=5lと表される。
よって
a2+2ab = (5k)2+2・5k・5l = 25k2 + 50kl = 25(k2+2kl)
k2+2klは整数であるから, a2+2ab は25の倍数である。
aがcの倍数で, dがbの約数ならcdはabの約数である aはcの倍数, dはbの約数であるから, 整数k,lを用いて
a=ck, b=dlと表される。
よって
ab = ck・dl = cdkl
klは整数であるから cdはabの約数である。
a,bがともに4の倍数なら 3a+7bは4の倍数である。 a,bは4の倍数なので, 整数k, lを用いて
a= 4k, b=4lと表される。
よって
3a+7b = 3・4k+7・4l = 4(3k+7l)
3k+7lは整数であるから, 3a+7bは4の倍数である。
aとa+bがともに 9の倍数なら bは9の倍数である a, a+bは9の倍数であるから, 整数k, lを用いて
a= 9k, a+b=9l と表される。
よって
b = 9l -a = 9l -9k = 9(l-k)
l-k は整数であるから, bは9の倍数である。
a,bがともに5の倍数なら a2+2abは25の倍数である a, bは5の倍数であるから, 整数k, lを用いて
a=5k, b=5lと表される。
よって
a2+2ab = (5k)2+2・5k・5l = 25k2 + 50kl = 25(k2+2kl)
k2+2klは整数であるから, a2+2ab は25の倍数である。
aがcの倍数で, dがbの約数ならcdはabの約数である aはcの倍数, dはbの約数であるから, 整数k,lを用いて
a=ck, b=dlと表される。
よって
ab = ck・dl = cdkl
klは整数であるから cdはabの約数である。