約数の個数

自然数Nの素因数分解が N=p^aq^br^c・・・・のとき
Nの正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)・・・・である。

(1) 504の正の約数の個数を求めよ。
(2) 18ⁿの正の約数の個数が45個となるような自然数nを求めよ。

(1)
504を素因数分解すると
504 = 2³・3²・7
よって正の約数の個数は
(3+1)(2+1)(1+1) = 4・3・2 = 24 (個)
(2)
18ⁿ = (2・3²)ⁿ = 2ⁿ・3²ⁿ なので
18ⁿの正の約数の個数は (n+1)(2n+1)
これが45になるので　(n+1)(2n+1) =45
よって 2n²+3n-44=0
(2n+11)(n-4)=0
nは自然数なので　n=4