三角比の2次関数の最大値・最小値

sin²θ+cos²θ=1をつかって
sin または cosの1種類で表す。

0°≦θ≦180°のとき次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y=−4sin²θ−4cosθ+3 y=cos²θ+6sinθ−5

0°≦θ≦180°のとき−1≦cosθ≦1となる。 0°≦θ≦180°のとき0≦sinθ≦1となる。

y=−4sin²θ−4cosθ+3 =−4(1−cos²θ)−4cosθ+3 =4cos²θ−4cosθ−1
cosθ=xとおく。 0°≦θ≦180°より −1≦x≦1
y=4x²−4x−1 =(2x−1)²−2
x=12で最小値−2, x=−1で最大値7となる。
x=12となるのはcosθ=12よりθ=60°
x=−1となるのはcosθ=−1よりθ=180°
よってθ=60°で最小値−2, θ=180°で最大値7

y=cos²θ+6sinθ−5 =1−sin²θ+6sinθ−5 =−sin²θ+6sinθ−4
sinθ=xとおく。　0°≦θ≦180°より0≦x≦1
y=−x²+6x−4 =−(x−3)²+5
x=0で最小値−4, x=1で最大値1となる。
x=0となるのはsinθ=0よりθ=0°、180°のとき
x=1となるのはsinθ=1よりθ=90°のとき
よってθ=0°、180°で最小値−4, θ=90°で最大値1