軸や頂点から2次関数の決定
2次関数 y=a(x−p)2+q
頂点:(p, q), 軸:x=p
グラフ上の点は式に代入して方程式にできる。
次の条件を満たす2次関数を求めよ。
グラフの頂点が(3, 2)で点(−1,−2)を通る
グラフの軸がx=−1で2点(1, 5)と(3,11)を通る
x=3で最小値−1をとり、グラフが点(4,1)を通る。
③ 定義域が限定されずに最小値がある場合、a>0、最小値は頂点である。
頂点が(3, 2)なので y=a(x−3)2+2
グラフ上の点(−1,−2)を代入すると
−2=a(−4)2+2
16a=−4
a=−14
よって y=−14(x−3)2+2
軸がx=−1なので y=a(x+1)2+q
点(1,5)を代入して 5=a(1+1)2+q・・・(1)
点(3,11)を代入して 11=a(3+1)2+q・・・(2)
(1)と(2)を連立して解くと
a=12
, q=3
よって y=12(x+1)2+3
x=3で最小値−1なので(3, −1)が頂点である。
y=a(x−3)2−1
点(4,1)を代入すると
1=a(4−3)2−1
a=2 よって
y=2(x−3)2−1
次の条件を満たす2次関数を求めよ。
グラフの頂点が(2,7)で点(3,6)を通る。y=−(x−2)2+7 グラフの軸がx=−2で、点(−1, −7)と点(−4, 2)を通る。y=3(x+2)2−10 x=−1で最大値5をとり、グラフが点(−3,−3)を通る。y=−2(x+1)2+5 x=1で最小値−3をとりグラフが点(2,1)を通るy=4(x−1)2−3
グラフの頂点が(2,7)で点(3,6)を通る。y=−(x−2)2+7 グラフの軸がx=−2で、点(−1, −7)と点(−4, 2)を通る。y=3(x+2)2−10 x=−1で最大値5をとり、グラフが点(−3,−3)を通る。y=−2(x+1)2+5 x=1で最小値−3をとりグラフが点(2,1)を通るy=4(x−1)2−3