更新日2019/09/05

2次方程式実数解の個数

判別式Dに対して
D>0 2つの異なる実数解
D=0 重解
D<0 解なし

kを実数の定数とする。2次方程式x2+kx+2k=0の実数解の個数を調べよ。 次の2つの2次方程式がどちらも実数解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。
x2+2kx+k+2=0, −x2+kx−3k=0

② 共通範囲を求める


判別式をDとする。
D=k2−8k=k(k−8)
D>0のとき 2つの異なる実数解をもつ
つまりk(k−8)>0
よってk<0, 8<k のとき2個
D=0のとき 重解をもつ
つまりk(k−8)=0
よって k=0, 8のとき1個
D<0のとき 解なし
つまりk(k−8)<0
よって 0<k<8 のとき0個
それぞれの判別式をD1とD2とする
D1=4k2−4k−8=4(k−2)(k+1)
D2=k2−12k=k(k−12)
D1≧0より k≦−1, 2≦k
D2≧0より k≦0, 12≦k
図示すると
x -1 0 2 12
よって共通範囲は k≦−1, 12≦k

次の条件を満たす定数kの値の範囲を求めよ。
2次方程式x2+(k+1)x+k+1が実数解を持たない。−1<k<3 次の2つの2次方程式が両方とも実数解を持たない。
x2+(k+2)x+2k+4=0, kx2+kx−1=0 −2<k<0
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