2次方程式の解の範囲

2次関数y=f(x)でf(m)>0, f(n)<0 なら
y=f(x)のグラフはmとnの間で必ずx軸と交わる。

2次方程式f(x)=0がmとnの間に２つの解を持つための条件
D>0, m<p<n, f(m)>0, f(n)>0
ただし y=f(x)が下に凸、頂点が(p,q)

2次方程式f(x)=0がkとlの間に１つ、mとnの間に1つの解を持つ条件(ただしk<l<m<n)
y=f(x)が下に凸なら　f(k)>0, f(l)<0, f(m)<0, f(n)>0

2次方程式x²-2kx+k+6=0が0から5の間に2つの解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。 2次方程式x²+kx-6=0の解が-4<x<-1と、1<x<2の範囲にそれぞれ1つずつあるように定数kの値の範囲を求めよ。

平方完成すると (x-k)²-k²+k+6
y=f(x)の軸はx=kなので　0<k<5・・・(1)
D>0より　4k²-4k-24>0
(k-3)(k+2)>0
よってk<-2, 3<k・・・(2)
f(0)=k+6>0 つまり　k>-6・・・(3)
f(5)=25-10k+k+6>0
つまり　k<319 ・・・(4)
図示する。

共通範囲を求めると　3<k<319

f(-4)>0 より　16-4x-6>0
よって k<52 ・・・(1)
f(-1)<0より 1-k-6<0
よって-5<k・・・(2)
f(1)<0より　1+k-6<0
よって k<5・・・(3)
f(2)>0より 4+2k-6>0
よって k>1・・・(4)
図示する。

共通範囲を求めると 1<k<52