更新日2019/09/05

2次方程式の解の範囲

2次関数y=f(x)でf(m)>0, f(n)<0 なら
y=f(x)のグラフはmとnの間で必ずx軸と交わる。
y=f(x) x m n f(m) f(n)


2次方程式f(x)=0がmとnの間に2つの解を持つための条件
D>0, m<p<n, f(m)>0, f(n)>0
ただし y=f(x)が上に凸、頂点が(p,q)
y=f(x) m n f(m) f(n) 頂点(p,q) x


2次方程式f(x)=0がkとlの間に1つ、mとnの間に1つの解を持つ条件(ただしk<l<m<n)
y=f(x)が上に凸なら f(k)>0, f(l)<0, f(m)<0, f(n)>0
k l m n f(k) f(l) f(m) f(n) x y=f(x)

2次方程式x2-2kx+k+6=0が0から5の間に2つの解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。 2次方程式x2+kx-6=0の解が-4<x<-1と、1<x<2の範囲にそれぞれ1つずつあるように定数kの値の範囲を求めよ。


平方完成すると (x-k)2-k2+k+6
y=f(x)の軸はx=kなので 0<k<5・・・(1)
D>0より 4k2-4k-24>0
(k-3)(k+2)>0
よってk<-2, 3<k・・・(2)
f(0)=k+6>0 つまり k>-6・・・(3)
f(5)=25-10k+k+6>0
つまり k<319 ・・・(4)
図示する。
-6 -2 0 3 5 (3) (2) (2) (4) (1) 31 9
共通範囲を求めると 3<k<319

-4 -1 1 2
f(-4)>0 より 16-4x-6>0
よって k<52 ・・・(1)
f(-1)<0より 1-k-6<0
よって-5<k・・・(2)
f(1)<0より 1+k-6<0
よって k<5・・・(3)
f(2)>0より 4+2k-6>0
よって k>1・・・(4)
図示する。
-5 1 5 5 2 (1) (2) (3) (4)
共通範囲を求めると 1<k<52

2次方程式x2+kx+4=0の2つの解がともに0<x<6の範囲にあるようなkの値の範囲を求めよ。 -203 <k<-4 2次方程式x2+kx-12=0の解が-8<x<-4と、1<x<3の範囲にそれぞれ1つずつあるように定数kの値の範囲を求めよ。 1<k<132
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