共通の解を持つ2次方程式

共通の解をx=αとして代入。連立方程式として解く。

2つの2次方程式x²+(k−1)x−2k+2=0と2x²+(2k−3)x−3k=0が共通の解を持つように定数kの値を定め、その共通の解を求めよ。 2つの2次方程式x²+2x−5k=0と2x²−7x+k=0が共通の解を持つように定数kの値を定め、その共通の解を求めよ。

α²を消去するか、定数kを消去する。

x=αを代入して
{ α²+(k−1)α−2k+2=0・・・① 2α²+(2k−3)α−3k=0・・・②
②−2×①
−α+k−4=0
α=k−4・・・③
③を①に代入
(k−4)²+(k−1)(k−4)−2k+2=0
2k²−15k+22=0
(2k−11)(k−2)=0
k=2, 112
k=2のとき　③よりx=−2
k=112 のとき ③よりx=32
よって
k=2 共通解x=−2, または k=112 共通解x=32
x=αを代入して
{ α²+2α−5k=0・・・① 2α²−7α+k=0・・・②
②より
k=−2α²+7α・・・③
③を①に代入
α²+2α−5(−2α²+7α)=0
11α²−33α=0
11α(α−3)=0
α=0, 3
α=0のとき③よりk=0, α=3のとき③よりk=3
よって
k=0 共通の解x=0、 または k=3 共通の解x=3