判別式

2次方程式ax²+bx+c=0の判別式 D=b²-4ac
D>0 異なる2つの実数解
D=0 重解
D<0 実数解なし

方程式ax²+(2a-5)x+a=0が異なる2つの実数解を持つような定数aの範囲を求めよ。 2次方程式x²+kx+k+1=0　が重解を持つような定数kを求めよ。

a=0のときは2次方程式ではないので、a=0とa≠0で場合分けする。 D=0の方程式を作る。

a=0のとき　
5x=0となり異なる2つの実数解を持たない。
a≠0のとき　
判別式をDとすると
D = (2a-5)²-4a²
　= 4a²-20a+25-4a²
　= -20a+25
異なる2つの実数解を持つためにはD>0なので
-20a+25 > 0
a < 54
a≠0なので　a<0, 0<a<54 判別式をDとする。
D = k²-4(k+1)
　= k²-4k-4
重解を持つためにはD=0なので
k²-4k-4 = 0
これを解くとk = 2±22