内接する球の半径

角錐のすべての面に接する球を内接球という。
内接球の中心を頂点として各面を底面とした錐の体積の合計はもとの角錐の体積になる。

図はPA=PB=PC=PD=36で、底面は1辺6の正方形の
正四角錐PABCDである。
この正四角錐に内接する球の半径を求めよ。

PABCDの体積をVとすると、
V = ABCDの面積×高さ÷3
内接球の中心をOとすると
V = OABCD+OPAB×4

高さを求める。
正方形ABCDの対角線の交点をHとする。
△PACはPA=PCの二等辺三角形なのでPH⊥ACである。
AC=62よりAH = 32、PA=36
三平方の定理より PH² + 18 = 54
PH = 6

体積を求める。
正方形ABCD = 6×6 = 36
PABCDの体積は　36×6÷3=72

△PABの面積を求める。
PA=PB=36、AB=6なので
∠APB=θとすると
cosθ = 54+54-362・54 = 23
sinθ = 53
よって△PAB = 12・54・53 = 95

内接球の半径をrとすると
V = 36r÷3 + 4×95r÷3
72 = 12r +125r
r = 3(5-1)2