円に内接する四角形の面積

円に内接する四角形の対角の和は180°となる。
面積を求めるときは対角線で2つの三角形に分ける。

円に内接する四角形ABCDがある。AB=6, BC=13, CD=9, DA=6である。
この四角形ABCDの面積を求めよ。

対角線ACで△ABCと△ADCに分けて考える。
対角の和が180°なので
cosD = cos(180°-B) = -cosBとなる。
△ABCと△ADCでそれぞれ余弦定理を用い、AC²を消去してcosBを求める。

余弦定理より
AC² = 6²+13²-2・6・13cosB・・・①
AC² = 6²+9² -2・6・9cosD・・・②
①,②からAC²を消去し、cosD = -cosBを代入すると
6²+9² +2・6・9cosB = 6²+13²-2・6・13cosB
2・6・(13+9)cosB = 13²-9²
2・6・22cosB = 22・4
cosB =13
sinB = 1- cos²B = 223
S = △ABC + △ADC
= 12・6・13・223 + 12・6・9・223
= 262+182 =442