更新日2018/04/04

円に内接する四角形の面積

円に内接する四角形の対角の和は180°となる。
面積を求めるときは対角線で2つの三角形に分ける。

円に内接する四角形ABCDがある。AB=6, BC=13, CD=9, DA=6である。
この四角形ABCDの面積を求めよ。

対角線ACで△ABCと△ADCに分けて考える。
対角の和が180°なので
cosD = cos(180°-B) = -cosBとなる。
△ABCと△ADCでそれぞれ余弦定理を用い、AC2を消去してcosBを求める。

ABCD66139 余弦定理より
AC2 = 62+132-2・6・13cosB・・・①
AC2 = 62+92 -2・6・9cosD・・・②
①,②からAC2を消去し、cosD = -cosBを代入すると
62+92 +2・6・9cosB = 62+132-2・6・13cosB
2・6・(13+9)cosB = 132-92
2・6・22cosB = 22・4
cosB =13
sinB = 1- cos2B = 223
S = △ABC + △ADC
= 12・6・13・223 + 12・6・9・223
= 262+182 =442

円に内接する四角形ABCDがある。AB=15, BC=14, CD=15, DA=16である。
この四角形ABCDの面積を求めよ。6014
円に内接する四角形ABCDがある。AB=5, BC=5, CD=4, DA=9である。
この四角形ABCDの面積を求めよ。6534
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