放物線とx軸の共有点の座標

放物線y=ax²+bx+cとx軸との共有点のx座標は2次方程式ax²+bx+c=0の解である。
つまり
x軸との共有点が(α,0), (β,0)の放物線の方程式はy=a(x-α)(x-β)
と表せる

3点(-3,0), (1,0), (2,10)を通る放物線の方程式を求めよ。 放物線y=x²+4x-12がx軸から切り取る線分の長さを求めよ。

y=ax²+bx+cとおいても解けるが、y=a(x-α)(x-β)としたほうが簡単に解ける。 放物線とx軸との共有点が(α,0), (β,0)の場合、放物線がx軸から切り取る線分の長さは|α-β|である。

(-3,0), (1,0)はx軸上の点なので、放物線はy=a(x+3)(x-1)と表せる。
(2,10)を代入すると 10=a(2+3)(2-1)
a=2
よって放物線の方程式はy=2(x+3)(x-1) [または y=2x²+4x-6] y = x²+4x-12
　= (x-2)(x+6)
よって、この放物線とx軸との交点は(2,0)と(-6,0)
2-(-6)=8
この放物線がx軸から切り取る線分の長さは8