更新日2018/04/06

切り口に頂点からおろした垂線

四面体の体積 = 13×高さ×底面積

ABCDEFGHPQ 図は1辺20の立方体である。
辺AB上の点P、辺AD上の点Q、頂点Eの
3点を通る平面でこの立方体を切断する。
AQ=9, AP=15のとき次の問いに答えよ。
四面体AEPQの体積を求めよ。
△EPQの面積を求めよ。
頂点Aから面EPQにおろした垂線の長さを求めよ。


△APQを底面、AEを高さとして体積を出す

三平方の定理で△EPQの各辺の長さを出し、
余弦定理でcosθを出してsinθを出す。(θは△EPQの内角のどれでもよい) ③
①で出した体積V, ②で出した△EPQの面積を底面積Sとして
V = 13Sh に代入する


∠PAE = ∠QAE = 90°なので
△APQを底面としたとき、AEは四面体AEPQの高さとなる。
∠QAP=90°なので△APQ = 9×15÷2 =1352
体積 V = 1352×20÷3 =450

△APQ, △AEP, △AEQはどれも直角三角形なので、三平方の定理を用いてそれぞれの斜辺を出すと
QE2 = 92+202=481
QE =481
PE2 = 152+202=625
PE = 25
PQ2 = 92+152 = 306
PQ =334
∠QPE = θとする。余弦定理より
cosθ = 625+306-4812・25・334=45015034=334
sin2θ=1-cos2θより
sin2θ = 1-934 = 2534
sinθ = 534
よって面積 S = 12・25・334534=3752

頂点Aから平面EPQにおろした垂線をhとして、V=450, S = 3752
V = 13Sh に代入すると
450 = 133752・h
h = 6・450375 = 365

A B C D E F G H P Q 図は1辺21の立方体である。
辺AB上の点P、辺AD上の点Q、頂点Eの
3点を通る平面でこの立方体を切断する。
AQ=7, AP=14のとき次の問いに答えよ。
四面体AEPQの体積を求めよ。343
△EPQの面積を求めよ。3432
頂点Aから面EPQにおろした垂線の長さを求めよ。6
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