数字の並び方

(1) 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10個の数を使って整数をつくるとき、次の整数は何個あるか求めよ。ただし同じ数字は2度以上使わない。
4桁の整数 4桁の偶数 5桁の5の倍数
(2) 1、2、3、4、5、6の6つの数を使ってできる4桁の整数のすべての和を求めよ。ただし同じ数字は2度以上使わない

条件の処理を先にする
①千の位が0以外,　②一の位が偶数、　③一の位が0か5

(1)
①
千の位は0以外の9個の数字のどれかなので 9通り
百、十、一の位は残りの9個から3個取った順列　₉P₃
よって　9×₉P₃=9×9・8・7=4536 個
② 千の位が奇数のときと偶数の時で場合分けする
［1］千の位が奇数の場合
　千の位は1,3,5,7,9の5通り
　一の位は偶数0,2,4,6,8の5通り
　 百、十の位は残りの8個から2個とった順列　₈P₂
　よって5×5×₈P₂=5×5×8・7=1400 個
［2］千の位が偶数の場合
　千の位は2,4,6,8の4通り
　一の位は千の位で使われた以外の偶数と0なので4通り
　百、十の位は残りの8個から2個とった順列　₈P₂
　よって4×4×₈P₂=4×4×8・7=896
［1］,［2］より4桁の偶数は1400+896=2296 個
③一の位が0と5で場合分け
［1］一の位が0のとき
　万、千、百、十の位は残りの9個から4個とった順列　₉P₄
　よって₉P₄=9・8・7・6=3024
［2］一の位が5のとき
　万の位は0,5以外の8通り
　千、百、十の位は残りの8個から3個とった順列　₈P₃
　よって8×₈P₃=8×8・7・6=2688
［1］,［2］より5桁の5の倍数は3024+2688=5712 個
(2)
千の位が1になる整数は₅P₃個ある。
千の位が2,3,4,6の場合も同様に₅P₃個ずつある。
よって、4桁のすべて整数の千の位の和は(1+2+3+4+5+6)×₅P₃×1000
同様に考えて百の位の和は(1+2+3+4+5+6)×₅P₃×100
十の位の和は(1+2+3+4+5+6)×₅P₃×10
一の位の和は(1+2+3+4+5+6)×₅P₃×1
これらすべてをたすと(1+2+3+4+5+6)×₅P₃×(1000+100+10+1) = 1399860