確率の最大値

さいころを100回投げて、3の倍数は、何回でる可能性が最も大きいか。

3の倍数がk回出る確率をP_kとして
P_kとP_k+1の大小関係を調べる。
P_l<P_m>P_n (ただしn=m+1, m=l+1)
となるときP_mが最大値である。

3の倍数がk回出る確率をP_kとする。
P_k=₁₀₀C_k(13)^k(23)^100-k
P_k<P_k+1のときP_k+1P_k>1なので
P_k+1P_k=₁₀₀C_k+1(13)^k+1(23)^100-k-1₁₀₀C_k(13)^k(23)^100-k =₁₀₀C_k+1×13₁₀₀C_k×23 =100!(k+1)!・(100-k-1)!・k!・(100-k)!100!・12 =100-kk+1・12
よって 100-kk+1・12 >1
100-k>2k+2
98>3k
32.666・・・>k つまり1≦k≦32でP_k<P_k+1
またP_k>P_k+1のときP_k+1P_k<1なので
100-kk+1・12<1
100-k<2k+2
98<3k
32.6666<kつまり　33≦kでP_k>P_k+1
よってP₃₂<P₃₃>P₃₄である。
したがってもっとも確率が大きいのは33回である。