確率の加法定理、余事象の確率

確率の加法定理
2つの事象A,Bが互いに排反のとき
P(A∪B)=P(A)+P(B) 余事象の確率
P(A)=1-P(A)

袋の中に赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入っている。ここから同時に4個取り出すとき次の確率を求めよ。
赤玉が3個以上出る確率 3色すべての色が出る確率 取り出した玉の色が2色になる確率

① 赤玉が3個出る事象と赤玉が4個でる事象は互いに排反である。
② 3色出るのは赤2,青1、白1と赤1,青2、白1と赤1、青1、白2の3つの事象である。
③ 2色出る事象は、3色または1色でる事象の余事象である。

袋には全部で9個の玉が入っている。そこから同時に4個取り出すので
すべての場合の数は₉C₄である。
① 赤玉が3個、1個は他の色が出る事象の数は
赤玉4個から3個、それ以外の5個から1個取り出すので　₄C₃×₅C₁
赤玉4個出る事象の数は ₄C₄
この２つの事象は互いに排反なので加法定理が利用できる
よって確率は₄C₃×₅C₁+₄C₄₉C₄=16
　
② 赤2,青1、白1となる事象の数は ₄C₂×₃C₁×₂C₁
赤1,青2、白1となる事象の数は ₄C₁×₃C₂×₂C₁
赤1,青1、白2となる事象の数は ₄C₁×₃C₁×₂C₂
この3つの事象が互いに排反なので
加法定理によって確率は ₄C₂×₃C₁×₂C₁+₄C₁×₃C₂×₂C₁+₄C₁×₃C₁×₂C₂₉C₄=47
③ 取り出すのが1色のみになるのは
４つすべて赤玉のときだけ　₄C₄
よって確率は₄C₄₉C₄=1126
②より3色取り出す確率は47
2色取り出すのは3色または1色の余事象なので
確率は1-(1126+47)=53126