条件付き最大最小

x, yそれぞれに条件がついていて、一方の文字を消去した場合、
消去した文字の条件を残った文字で置き換えておく

x≧0, y≧0, 2x+y=6のとき 2x²+y²の最小値、最大値を求めよ。

y=6-2xとして　代入しyを消去。xだけの式にする。
yの条件y≧0にも代入してxで条件を置き換える。

2x+y=6より y=6-2x ・・・①
2x²+y²
= 2x²+(6-2x)²
= 2x²+36-24x+4x²
= 6x²-24x+36
= 6(x-2)²+12
y≧0なので①より
6-2x≧0
6≧2x
3≧x、さらにx≧0より共通範囲は0≦x≦3

頂点が最小なのでx=2で最小値12, ①よりy=2
左端が最大なのでx=0で最大値36, ①よりy=6
よって
x=2, y=2で最小値12
x=0, y=6で最大値36