放物線と直線の共有点

y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点の座標は
連立方程式
{y=f(x)y=g(x) の解である。
グラフが放物線と直線、または放物線同士のとき
2次方程式　f(x) = g(x)が重解を持つなら2つのグラフは接する。
実数解をもたないなら2つのグラフに共有点はない。

放物線y=x²+2x+6と直線y=-2x+11の共有点の座標を求めよ。 放物線y=-2x²+6x+kと直線y=2x+8が接するとき、定数kの値を求めよ。またそのときの接点の座標を求めよ。

yを消去して2次方程式にする。 yを消去した2次方程式の判別式D=0

x²+2x+6=-2x+11
x²+4x-5=0
(x+5)(x-1)=0
x=-5, x=1
x=-5のときy=21, x=1のときy=9
よって(-5, 21) (1, 9) -2x²+6x+k=2x+8
-2x²+4x+k-8=0・・・(a)
D=16+8(k-8)=0
k=6
これを(a)に代入すると -2x²+4x-2=0
(x-1)²=0
x=1, y=2×1+9=10
よってk=6, 接点(1, 10)