必要条件、十分条件

命題 p q が真であるとき
qはpであるための必要条件であり、
pはqであるための十分条件 である。
また p qが真のとき
p は q (q は p) であるための 必要十分条件である。

にア〜ウのうち最も適するものを入れよ。
(ア)十分　(イ)必要　(ウ)必要十分　
xy=0 は　「x=0 かつ y=0」のための
条件である。 「x > 0 かつ y >0」は x+y >0 のための条件である。 xy−2 = 2y−xは「x=2　または　y=−1」のための条件である。

命題をp qの形にして真偽を調べる。
さらにその逆 q p　の真偽も調べる。
p qが真、逆が偽ならpはqの十分条件
p qが偽、逆が真ならpはqの必要条件
p qも逆も真なら必要十分条件

xy=0 「x=0 かつ y=0」は偽 (反例x=1, y=0)
「x=0 かつ y=0」 xy=0　代入して成り立つので真
よって必要条件なので(イ)

「x > 0 かつ y >0」 x+y >0
x > 0
x+y > y
y > 0より　x+y>0 よって真
x+y >0 「x > 0 かつ y >0」は偽 (反例 x=2, y=−1)
よって十分条件　なので　(ア)

xy−2 = 2y−x
xy + x − 2y −2 =0
(x−2)(y+1)=0 x=2 または　y=−1
つまり
xy−2 = 2y−x 「x=2　または　y=−1」は真
よって必要十分条件なので(ウ)