値域から関数決定

単調増加や単調減少の関数は端の点から値域を出す。
直線の式ではa<0, a=0, a>0　の場合分けが必要かどうか考える。

次の条件を満たすように定数a, bの値を求めよ。
関数y=ax+b (−1<x≦4) の値域が−2≦y<8 関数y=ax+b (−2≦x≦3)の値域が−4≦y≦11

定義域−1<x≦4で、値域−2≦y<8より
x=−1のときy=8, x=4のときy=−2 とわかる。 a<0, a=0, a>0の場合分けが必要。

x=−1,y=8,を代入して8=−a+b
x=4, y=−2を代入して−2=4a+b
連立して解くとa=−2, b=6

a>0のとき　
xが増加すればyも増加するので
x=−2のときy=−4、　x=3のときy=11
それぞれ代入して −4=−2x+b, 11=3a+b
連立して解くとa=3, b=2
これはa>0を満たす。
a=0のとき　
y=bとなるので　値域−4≦y≦11を満たさない。
a<0のとき
xが増加するとyは減少するので
x=−2のときy=11, x=3のときy=−4
それぞれ代入して−4=3a+b, 11=−2a+b
連立して解くとa=−3, b=5
これはa>0を満たす。
よって　a=3, b=2　またはa=−3, b=5