(a+b)ⁿの展開式の項の係数を「組合せ」の考え方で求める。
(a+b)ⁿ =(a+b)(a+b)・・・・(a+b) ①②・・・・n
の展開式はn個の因数 a+b のそれぞれから,
aまたはbを取り出したn個の文字の積の和となる。
このとき a^n-rb^rの係数は
n個の a+b から bをr個, aをn-r個 選ぶ組合せの数_nC_rに等しい。

二項定理

(a+b)ⁿ = _nC₀aⁿ +_nC₁a^n-1b + _nC₂a^n-2b² +・・・
+_nC_ra^n-rb^r +・・・+_nC_n-1ab^n-1 + _nC_nbⁿ

二項定理において _nC_ra^n-rb^rを(a+b)ⁿの一般項といい, その係数_nC_rを二項係数という。
【例】(a+b)⁷ = ₇C₀a⁷ +₇C₁a⁶b +₇C₂a⁵b² +₇C₃a⁴b³+₇C₄a³b⁴+₇C₅a²b⁵+₇C₆ab⁶+₇C₇b⁷
= a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷
【例】(x-3)⁵ = ₅C₀x⁵ + ₅C₁x⁴・(-3) + ₅C₂x³・(-3)² + ₅C₃x²・(-3)³ + ₅C₄x・(-3)⁴ + ₅C₅(-3)⁵
= x⁵ - 15x⁴ + 90x³ - 270x² + 405x -243

(a+b)ⁿの展開式の各項の係数をn=1,2,3,・・・の場合について
順に三角形状に並べたものをパスカルの三角形という。

パスカルの三角形の性質
・各行の両端は1
・数の配列は左右対称
・両端以外の各数はその左上と右上の数の和