条件付き確率

2つの事象AとBがある。
事象Aが起こったとわかっているとき、
事象Bが起きている確率を条件付き確率といい、P_A(B)で表す。

条件付き確率P_A(B)は
Aを全事象としたときのA∩Bの起こる確率である。
つまり P_A(B) = n(A∩B)n(A)
P(A∩B)=n(A∩B)n(U), P(A) = n(A)n(U)
よって
P_A(B) = P(A∩B)P(A)

P(A) = 13、 P(B) = 23、 P(A∩B) = 15のとき
P_A(B) = P(A∩B)P(A) = 15÷13 = 35
P_B(A) = P(A∩B)P(B) = 15÷23 = 310

男子60人、女子40人の合計100人を調べたところ、男子の17人と女子の8人がメガネをかけていた。
この中から選ばれた1人が男子だった場合、その人がメガネをかけている確率を求める。
選ばれた人が男子であるという事象をM, メガネをかけているという事象をGとする
P(M)=60100
P(M∩G)=17100
よって求める確率は P_M(G)=P(M∩G)P(M)=17100÷60100 =1760

上記条件付き確率より
P_A(B) = P(A∩B)P(A)
P(A)P_A(B) = P(A∩B)
確率の乗法定理
P(A∩B) = P(A)P_A(B)

白玉6個、赤玉4個入った袋から玉を１個取り出し、もとに戻さずにもう1個取り出す。
このとき2個とも赤玉である確率を求める。
1回目が赤玉である事象をA,2回目が赤玉である事象をBとすると、両方とも赤玉である事象はA∩Bとなる。
1回目が赤玉の確率は、P(A) = 410
1回目に赤玉が出た場合、2回目に取り出すときは玉の合計が9個で赤玉が3個なので、
1回目赤玉だったときに2回目赤玉の確率は、P_A(B)=39
よって両方とも赤玉である確率は P(A∩B) = P(A)P_A(B) = 410×39 = 215