更新日2016/05/13

集合

要点

集合の表し方

要素
集合を構成している1つ1つのものを、
その集合の要素という。
aが集合Pの要素であるとき、
「aは集合Pに属する」といいa∈Pと表す。
有限個の要素からなる集合を有限集合、要素の数が無限の集合を無限集合という。

集合の表し方には2通りある。
①要素を書き並べる。
②要素の満たす条件を示す。

1桁の奇数全体の集合をAとする。
 A={1,3,5,7,9}
 A={2n−1|1≦n≦5, nは整数}

部分集合

x∈A ならば x∈Bがなりたつとき
「AはBの部分集合である」という。
記号ではA⊂Bと表す
このとき「AはBに含まれる」という。
また、A⊂B, かつ B⊂AのときAとBの要素は完全に一致する。このとき「AとBは等しい」といい、A=Bと表す。

A={2, 3, 5}, B={1, 2, 3, 4, 5}
A B A B 1 2 3 4 5
A⊂B

要素をひとつも持たない集合を空集合といい、
記号で表す
空集合はすべての集合の部分集合になる。

共通部分・和集合

2つの集合A, Bのどちらにも属する要素全体の集合をAとBの共通部分といい、A∩Bで表す。
また、AとBの少なくとも一方に属する要素全体の集合をAとBの和集合といいA∪Bと表す。
A∩B= {x|x∈A かつ x∈B }
A∪B= {x|x∈A または x∈B }

A B A B A∩B A∪B A B

3つの集合A, B, Cでは
A, B, Cの共通部分A∩B∩C
A, B, Cの和集合A∪B∪C

A B C A∪B∪C A∩B∩C

補集合

集合を考えるとき、考える対象の範囲を最初に決める。このときの対象となるもの全体の集合を全体集合という。
全体集合をUとするとき、Uの部分集合Aに対してAに属さないUの要素全体の集合をAの補集合といいAと表す。
A = {x | x∈U かつ x∉U}
全体集合をUとする
U = ∅ , = U
A∩A = ∅ , A∪A = U
Aの補集合 A = A
A ⊂ B ならば AB

ド・モルガンの法則

A∪B = AB
A∩B = AB

A U A U B U B U
A B U A B UA ∪ B _ _ A ∩ B _ _ + +

例題と練習

問題

Copyright©2016 SyuwaGakuin AllRightsReserved