更新日2017/04/08

順列

要点

いくつかのものを順序をつけて1列に並べる配列を順列という。
n個のものからr個を取り出して並べる順列をn個からr個取る順列という。 n個からr個取る順列の総数
nPr と表す。

nPr

n個からr個取り出して並べる場合、
1番目はn個のどれでも可能なので     n通り
2番めは1番目で取った残りが(n-1)個なので (n-1)通り
・・・(順に1つずつ減るので)・・・ 3番めは (n-2)通り

10番目は (n-9)通り

r番目は n-(r-1)= (n-r+1)通り
よって積の法則から
nPr =n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1) └─────┬──────┘ r個の積

【例】
10P4 =10・9・8・7=5040 4P2=4・3=12 9P1=9 3P3=3・2・1=6

階乗

n個のもの全てを並べる順列は
nPn =n(n-1)・・・3・2・1
つまり1からnまでのすべての自然数の積である。
これをnの階乗といい
 n! とあらわす。

【例】 4!=4・3・2・1 =24 6!=6・5・4・3・2・1 =720


nPrを階乗を用いて表す
nPr  =n(n-1)・・・(n-r+1)(n-r)・・・2・1(n-r)・・・2・1   =n!(n-r)!

この式がr=0, r=nでも成り立つように nP0=1, 0!=1と定義する。

【例】 8P3 = 8!5!

例題と練習

問題

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