更新日2019/09/05

数字の並び方

(1) 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10個の数を使って整数をつくるとき、次の整数は何個あるか求めよ。ただし同じ数字は2度以上使わない。
4桁の整数 4桁の偶数 5桁の5の倍数
(2) 1、2、3、4、5、6の6つの数を使ってできる4桁の整数のすべての和を求めよ。ただし同じ数字は2度以上使わない

条件の処理を先にする
①千の位が0以外, ②一の位が偶数、 ③一の位が0か5

(1)
0以外
千の位は0以外の9個の数字のどれかなので 9通り
百、十、一の位は残りの9個から3個取った順列 9P3
よって 9×9P3=9×9・8・7=4536 個
② 千の位が奇数のときと偶数の時で場合分けする
[1]千の位が奇数の場合 奇数 偶数
 千の位は1,3,5,7,9の5通り
 一の位は偶数0,2,4,6,8の5通り
  百、十の位は残りの8個から2個とった順列 8P2
 よって5×5×8P2=5×5×8・7=1400 個
[2]千の位が偶数の場合 0以外の偶数 偶数
 千の位は2,4,6,8の4通り
 一の位は千の位で使われた以外の偶数と0なので4通り
 百、十の位は残りの8個から2個とった順列 8P2
 よって4×4×8P2=4×4×8・7=896
[1],[2]より4桁の偶数は1400+896=2296 個
③一の位が0と5で場合分け
[1]一の位が0のとき 0
 万、千、百、十の位は残りの9個から4個とった順列 9P4
 よって9P4=9・8・7・6=3024
[2]一の位が5のとき 5 0と5以外
 万の位は0,5以外の8通り
 千、百、十の位は残りの8個から3個とった順列 8P3
 よって8×8P3=8×8・7・6=2688
[1],[2]より5桁の5の倍数は3024+2688=5712 個
(2)
千の位が1になる整数は5P3個ある。
千の位が2,3,4,6の場合も同様に5P3個ずつある。
よって、4桁のすべて整数の千の位の和は(1+2+3+4+5+6)×5P3×1000
同様に考えて百の位の和は(1+2+3+4+5+6)×5P3×100
十の位の和は(1+2+3+4+5+6)×5P3×10
一の位の和は(1+2+3+4+5+6)×5P3×1
これらすべてをたすと(1+2+3+4+5+6)×5P3×(1000+100+10+1) = 1399860

(1) 0、1、2、3、4、5、6の7個の数を使って整数をつくる、次の整数は何個あるか求めよ。ただし同じ数字は2度以上使わない。
4桁の整数720 3桁の偶数105 5桁の4の倍数624
(2) 1、2、3、4、5の5つの数を使ってできる3桁の整数のすべての和を求めよ。ただし同じ数字は2度以上使わない19980
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