更新日2016/06/03

三角比の2次関数の最大値・最小値

sin2θ+cos2θ=1をつかって
sin または cosの1種類で表す。

0°≦θ≦180°のとき次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y=−4sin2θ−4cosθ+3 y=cos2θ+6sinθ−5

0°≦θ≦180°のとき−1≦cosθ≦1となる。 0°≦θ≦180°のとき0≦sinθ≦1となる。


y=−4sin2θ−4cosθ+3 =−4(1−cos2θ)−4cosθ+3 =4cos2θ−4cosθ−1
cosθ=xとおく。 0°≦θ≦180°より −1≦x≦1
y=4x2−4x−1 =(2x−1)2−2
x y -1 1 O
x=12で最小値−2, x=−1で最大値7となる。
x=12となるのはcosθ=12よりθ=60°
x=−1となるのはcosθ=−1よりθ=180°
よってθ=60°で最小値−2, θ=180°で最大値7


y=cos2θ+6sinθ−5 =1−sin2θ+6sinθ−5 =−sin2θ+6sinθ−4
sinθ=xとおく。 0°≦θ≦180°より0≦x≦1
y=−x2+6x−4 =−(x−3)2+5
O 1 -4 1 x y
x=0で最小値−4, x=1で最大値1となる。
x=0となるのはsinθ=0よりθ=0°、180°のとき
x=1となるのはsinθ=1よりθ=90°のとき
よってθ=0°、180°で最小値−4, θ=90°で最大値1

0°≦θ≦180°のとき次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y= −cos2θ−4sinθ+3θ=90°で最小値−1, θ=0°、180°で最大値2 y= 2sin2θ−22cosθ θ=0°で最小値−22, θ=135°で最大値3
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