最大値最小値から係数を求める

(1) a>0とする。関数y=ax²+2ax+b (−2≦x≦2)の最小値が3, 最大値が21のときa, bの値を求めよ。
(2)関数y=2x²−4ax+2a (−2≦x≦1)の最小値が−4になるような定数aの値を求めよ。

(1)頂点を出して、図をかけば最大値、最小値の位置がわかる。
(2)aの値によって最小値が変わるので場合分けが必要になる。

(1)
平方完成すると y=a(x+1)²−a+b
定義域 −2≦x≦2, 頂点(−1, −a+b)
a>0より最小は頂点、 最大はx=2のときである。
−a+b=3, 8a+b=21 連立して解くとa=2, b=5
これはa>0を満たす。
(2)
平方完成するとy=2(x−a)²−2a²+2a
a<−2 のとき
x=−2で最小値10a+8となるので
10a+8=−4
a=−65
これはa<−2を満たさない。
−2≦a≦1のとき
x=aで最小値−2a²+2aとなる。
−2a²+2a = −4
これを解くと a=−1, 2
このうち−2≦a≦1となるのはa=−1
a>1のとき
x=1で最小値2−2aとなる。
2−2a=−4
a=3
これはa>1を満たす。

[i][ii][iii]よりa=−1, 3