文字区間の最大最小2

下に凸のグラフでは、最小値は頂点、左端、右端の3通り
下に凸のグラフでは、最大値は左端、右端、両端が同じ値の3通り
区間が文字で表される場合aの値によって場合分けする
グラフの概略をかいたほうが間違えにくい。

関数y=x²−4x+1 (a≦x≦a+2) について
最小値を求めよ。 最大値を求めよ。

軸x=2が区間に含まれるときは頂点が最小になる。
軸が区間の右にあれば右端が最小、軸が区間の左にあれば左端が最小になる。 軸x=2が区間ちょうど中央(a+1=2)なら両端が同じ値、
軸が中央より 右にあれば左端が最大、軸が中央より左なら右端が最大になる。

平方完成すると　y=(x−2)²−3
a+2<2つまりa<0のとき
区間の右端、x=a+2のときに最小になる。
代入すると　
y=(a+2)²−4(a+2)+1 =a²−3
よって
x=a+2で最小値a²−3 a≦2≦a+2つまり0≦a≦2のとき
頂点が最小になる。
よって
x=2のとき最小値−3 2<aのとき
区間の左端、x=aのときに最小になる。
代入すると　y=a²−4a+1
よって
x=aで最小値a²−4a+1 a+1<2 つまりa<1のとき
代入すると　y=a²−4a+1
よって
x=aで最大値a²−4a+1 a+1=2 つまりa=1のとき
両端が同じ値で最大
よって x=1, 3で最大値−2 2<a+1のとき つまり1<aのとき
区間の右端 x=a+2のときに最大になる。
代入すると y=(a+2)²−4(a+2)+1 =a²−3
よって　
x=a+2で最大値a²−3