命題の真偽
真をいうには証明が必要。
偽をいうには反例を１つあげる。
次の命題の真偽を調べよ。
整数xについて、xが5の倍数ならx2+xは10の倍数である。
x2=9ならx=3である。
xy>0ならば 「x>0 または y>0」
まず反例を探し、見つからなければ証明をする。
x2+x=x(x+1)
xが5の倍数なのでx2+xは5の倍数
xとx+1はどちらかが偶数になるのでx2+xは偶数
よってx2+xは10の倍数
よって命題は真
x=−3のときx2=9となるがx=3ではない。
よって命題は偽
x=−1, y=−1のときxy=1で、xy>0となるが「x>0 または y>0」ではない。
よって命題は偽
次の命題の真偽を調べよ。
x2が4の倍数ならxは4の倍数である。x=2のときx2=4でx2は4の倍数だがxは4の倍数ではない
よって偽 xが自然数ならx3+3x2+2xは6の倍数である。 x3+3x2+2x=x(x+1)(x+2)
x, x+1, x+2のうち1つは3の倍数になるのでx3+3x2+2xは3の倍数。また、x, x+1, x+2の少なくとも１つは偶数なので x3+3x2+2xは偶数。よってx3+3x2+2xは6の倍数。
よって真 x+yとxyがともに有理数ならx, yはともに有理数である。 x=3+2, y=3−2のときx+y=6, xy=7となり、x+y, xyともに有理数でもx, yが無理数になる。
よって偽 |x|<2ならばx<2である。 |x|<2より−2<x<2 この範囲はx<2に含まれる。
よって真 |x+1|<4ならば|x|<3である。 x=−4のとき|x+1|=3, |x|=4 なので|x+1|<4であるが|x|<3ではない。
よって偽 |x+y|=|x|+|y|ならば「x≧0かつy≧0」である。 x=−2, y=−1のとき|x+y|=3, |x|+|y|=3 なので|x+y|=|x|+|y|であるが「x≧0かつy≧0」ではない。
よって偽
x2が4の倍数ならxは4の倍数である。x=2のときx2=4でx2は4の倍数だがxは4の倍数ではない
よって偽 xが自然数ならx3+3x2+2xは6の倍数である。 x3+3x2+2x=x(x+1)(x+2)
x, x+1, x+2のうち1つは3の倍数になるのでx3+3x2+2xは3の倍数。また、x, x+1, x+2の少なくとも１つは偶数なので x3+3x2+2xは偶数。よってx3+3x2+2xは6の倍数。
よって真 x+yとxyがともに有理数ならx, yはともに有理数である。 x=3+2, y=3−2のときx+y=6, xy=7となり、x+y, xyともに有理数でもx, yが無理数になる。
よって偽 |x|<2ならばx<2である。 |x|<2より−2<x<2 この範囲はx<2に含まれる。
よって真 |x+1|<4ならば|x|<3である。 x=−4のとき|x+1|=3, |x|=4 なので|x+1|<4であるが|x|<3ではない。
よって偽 |x+y|=|x|+|y|ならば「x≧0かつy≧0」である。 x=−2, y=−1のとき|x+y|=3, |x|+|y|=3 なので|x+y|=|x|+|y|であるが「x≧0かつy≧0」ではない。
よって偽