組合せ(平面図形2)

1.　平面上に6本の直線を引く。どの2本も平行ではなく、どの3本も1点では交わらないとき、これらの直線によってできる次の数を求めよ。
交点 三角形
2.　平面上に8本の直線を引く。どの3本も1点で交わらないが、8本中2本だけが平行である。これらの直線によってできる次の数を求めよ。
交点 三角形

1.
どの2本も平行ではないので、6本の直線から2本を選べば必ず交点が1つできる。
また、どの3本も1点で交わらないので交点がかぶることはない。
よって₆C₂=15個 どの2本も平行ではなく、どの3本も1点で交わらないので、
6本のうち3本の直線を選ぶと必ず3角形が１つつくれる。
よって ₆C₃=20個
2.
どの3本も１点で交わらず、どの2本も平行ではない7本の直線を考える。
交点の数は₇C₂である。
ここに7本のうちの1本と平行な直線を加えたとすると
直線を加えたことで、平行線以外の6本との交点が₆C₁個増える
よって　₇C₂+₆C₁=21+6=27個 どの3本も１点で交わらず、どの2本も平行ではない7本の直線を考える。
三角形の数は₇C₃である。
ここに7本のうちの1本と平行な直線を加えたとすると
平行線以外の6本の中の2本とでできる三角形が₆C₂個増える。
よって₇C₃+₆C₂=35+15=50個