更新日2016/03/25

条件付き最大最小

x, yそれぞれに条件がついていて、一方の文字を消去した場合、
消去した文字の条件を残った文字で置き換えておく

x≧0, y≧0, 2x+y=6のとき 2x2+y2の最小値、最大値を求めよ。

y=6-2xとして 代入しyを消去。xだけの式にする。
yの条件y≧0にも代入してxで条件を置き換える。

2x+y=6より y=6-2x ・・・①
2x2+y2
= 2x2+(6-2x)2
= 2x2+36-24x+4x2
= 6x2-24x+36
= 6(x-2)2+12
y≧0なので①より
6-2x≧0
6≧2x
3≧x、さらにx≧0より共通範囲は0≦x≦3
x 2x2+y2 2 3 O 36 12
頂点が最小なのでx=2で最小値12, ①よりy=2
左端が最大なのでx=0で最大値36, ①よりy=6
よって
x=2, y=2で最小値12
x=0, y=6で最大値36

x≧0, y≧0, 2x+y=4 のときx2+y2の最小値、最大値を求めよ。 x=8 5, y=45 で最小値165
x=0, y=4のとき最大値16
x≧0, y≧0, 2x+y=4のときxyの最小値、最大値を求めよ。 x=0, y=4とx=2,y=0で最小値0
x=1, y=2で最大値2
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