更新日2016/06/14

正弦定理・余弦定理

要点

正弦定理

A B C a b c △ABCの外接円の半径をRとするとき
asinA = bsinB = csinC = 2R

証明
A<90°のとき
A B C D O A a 2R
Bを通る直径をBDとする。
直径の円周角は90°なので∠DCB=90°
等しい弧に対する円周角は等しいので∠BDC=A
a=2R sin∠BDC= 2R sinA
よって asinA= 2R

A=90°のとき
2R A B C O A
a=2R, sin90°=1より a=2R = 2R sin90°= 2R sinA
よって asinA= 2R

A>90°のとき
A B C A D O 180-A a 2R
Bを通る直径をBDとする。
直径の円周角は90°なので∠BCD=90°
円に内接する四角形の対角の和は180°なので∠BDC=180°−A
a = 2R sin(180°−A) = 2R sinA
よって asinA= 2R
[i][ii][iii]より asinA= 2R
同様にbsinB= 2R, csinC = 2R
したがってasinA = bsinB = csinC = 2R

余弦定理

A B C a b c △ABCにおいて
a2 = b2+c2−2bc cosA
b2 = c2+a2−2ca cosB
c2 = a2+b2−2ab cosC

証明
A B C H A a b c
△ABCの頂点Cから辺ABにおろした垂線の足をHとする。
三平方の定理から
a2=CH2+BH2・・・①
CH2=b2−AH2・・・②
①に②を代入すると
a2=b2−AH2+BH2・・・①'
また
AH=b cosA・・・③
BH=c−AH=c−b cosA・・・④
③,④を①'に代入すると
a2 = b2−b2cos2A+(c−b cosA)2
 = b2−b2cos2A+c2−2bc cosA+b2cos2A
 = b2+c2−2bc cosA

例題と練習

問題

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