三角比

∠ACB=90°の直角三角形ABCで∠ABCが鋭角θで与えられた場合
辺の長さが変化しても△ABCは常に一定の形(相似)なので辺の比が定まる。
つまり、辺の比ACAB 、BCAB 、ACBC はθの値によって決まる。
三角比
sinθ = ACAB ・・・正弦(サイン)
cosθ = BCAB ・・・余弦(コサイン)
tanθ = ACBC ・・・正接(タンジェント)

tanθ=sinθcosθ
sin²θ+cos²θ=1
1+tan²θ=1cos²θ
【証明】

sinθ=yr より　y = r sinθ ・・・①
cosθ = xr より　x= r cosθ ・・・②
tanθ = yx 　これに①,②を代入すると
tanθ = r sinθr cosθ = sinθcosθ
三平方の定理　x²+y²=r²
これに①, ②を代入すると
r² cos²θ + r² sin²θ = r²
両辺をr²で割ると
cos²θ + sin²θ=1
さらにこの等式の両辺をcos²で割ると
1 + sin²θcos²θ = 1cos²θ
tanθ= sinθcosθ より 1+tan²θ=1cos²θ

sin(90°-θ) = cosθ
cos(90°-θ) = sinθ
tan(90°-θ) = 1tanθ
証明
∠ACB=90°の直角三角形ABCの各辺の長さをa, b, c, ∠ABC=α、∠BAC=βとする。

sinα= bc , cosα = ac , tanα = ab

sinβ = ac , cosβ = bc , tanβ = ab
よってsinα=cosβ　, cosα = sinβ , tanα = 1tanβ
α+β=90°より α = 90° - β
したがって
sin(90°-β) = cosβ
cos(90°-β) = sinβ
tan(90°-β) = 1tanβ