更新日2016/05/24

三角比

要点

サイン・コサイン・タンジェント

A B C θ ∠ACB=90°の直角三角形ABCで∠ABCが鋭角θで与えられた場合
辺の長さが変化しても△ABCは常に一定の形(相似)なので辺の比が定まる。
つまり、辺の比ACABBCABACBC はθの値によって決まる。

三角比
sinθ = ACAB ・・・正弦(サイン)
cosθ = BCAB ・・・余弦(コサイン)
tanθ = ACBC ・・・正接(タンジェント)

30°、45°、60°の三角比

30° 60° 45° 1 2 1 1 3 2
30°45°60°
sin121232
cos321212
tan1313

三角比の相互関係

tanθ=sinθcosθ
sin2θ+cos2θ=1
1+tan2θ=1cos2θ

【証明】
θ r x y
sinθ=yr より y = r sinθ ・・・①
cosθ = xr より x= r cosθ ・・・②
tanθ = yx  これに①,②を代入すると
tanθ = r sinθr cosθ = sinθcosθ
三平方の定理 x2+y2=r2
これに①, ②を代入すると
r2 cos2θ + r2 sin2θ = r2
両辺をr2で割ると
cos2θ + sin2θ=1
さらにこの等式の両辺をcos2で割ると
1 + sin2θcos2θ = 1cos2θ
tanθ= sinθcosθ より 1+tan2θ=1cos2θ

90-θ

sin(90°-θ) = cosθ
cos(90°-θ) = sinθ
tan(90°-θ) = 1tanθ

証明
∠ACB=90°の直角三角形ABCの各辺の長さをa, b, c, ∠ABC=α、∠BAC=βとする。
A B C a b c α β
sinα= bc , cosα = ac , tanα = ab
α β A B C a b c
sinβ = ac , cosβ = bc , tanβ = ab
よってsinα=cosβ , cosα = sinβ , tanα = 1tanβ
α+β=90°より α = 90° - β
したがって
sin(90°-β) = cosβ
cos(90°-β) = sinβ
tan(90°-β) = 1tanβ

例題と練習

問題

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