更新日2016/05/10

2次関数のグラフ

要点

2次関数

y=ax2+bx+c (a, b, cは定数 a≠0)
で表される関数を2次関数という。
2次関数のグラフは放物線である。
放物線は左右対称で対象の軸をその放物線の軸という。
軸と放物線の交点が頂点である。
頂点 放物線

2次関数のグラフ

y=ax2のグラフ 軸はy軸 頂点は原点
a>0のとき下に凸、 a<0のとき上に凸

a>0 a<0 下に凸 上に凸
y=a(x−p)2+qのグラフ y=ax2のグラフを x方向にp,y方向にq 平行移動した放物線
軸は x=p、 頂点は(p, q)

(p, q) x=p y=ax2 y=a(x-p)2+q
y=ax2+bx+c のグラフ 変形してy=a(x−p)2+qの形にする。
軸はx=−b2a , 頂点は (−b2a , −b2−4ac4a )

y=ax2+bx+cの変形(平方完成)
y=ax2+bx+c =a(x2+ba)+c=a{x2+2・b2a+(b2a)2 }-a(b2a)2+c=a(x+b2a)2-b2−4ac4a

グラフの平行移動

点(a, b)をx軸方向にp, y軸方向にqだけ平行移動すると、移動後の座標は(a+p, b+q)となる。
関数y=f(x)のグラフをx方向にp, y方向にqだけ平行移動すると、移動後のグラフは
y-q=f(x-p)になる。 証明 ≫ y=f(x)のグラフ上の任意の点を(a, b)とする。
(a, b)をx軸方向にp, y軸方向にqだけ平行移動した点を(x, y)とする。
(a, b)はy=f(x)のグラフ上にあるので
b=f(a)・・・(1)
x=a+p, y=b+q より
a=x-p, b=y-qを(1)に代入すると
y-q = f(x-p)

すると、放物線y=ax2+bx+cを
x方向にp, y方向にqだけ平行移動したグラフは
y-q=a(x-p)2+b(x-p)+c
となる。

グラフの対称移動

平面上で図形上の各点を直線や点に関して対象な位置に移すことを対称移動という。
(a, b) , y=f(x)のグラフを
x軸に関して対称移動 : (a, −b), y=−f(x)に移る。
y軸に関して対称移動 : (−a , b), y=f(−x)に移る。
原点に関して対称移動 : (−a, −b), y=−f(−x)に移る。

例題と練習

問題

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