更新日2017/02/27

集合の要素の個数

要点

集合の要素の個数

要素が有限個である集合を有限集合という。
有限集合Aの個数をn(A)と表す。


A={0,2,4,5} のとき n(A)=4
B={x|xはひとけたの自然数} のとき  n(B)=9 である。

和集合の要素の個数

1. n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)
2. A∩B=∅のとき  n(A∪B) = n(A) + n(B)
A B A∪B A∩B

1から20までの自然数のうち、2の倍数または3の倍数の個数
U={x|1から20までの自然数}、 A={x|2の倍数}、 B={x|3の倍数}、 A∩B={x|6の倍数}
n(U)=20, n(A)=10, n(B)=6, n(A∩B)=3
n(A∪B)=10+6-3=13

補集合の要素の個数

Uを全体集合、Aをその部分集合とすると
n(A) = n(U) − n(A)
U A A

3で割り切れない、ひとけたの自然数の個数
U={x|ひとけたの自然数}、A={x|3の倍数}
n(U)=9, n(A)=3
n(A)=9-3=6

3つの集合

n(A∪B∪C) =
n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)+n(A∩B∩C)
A B C

1から40までの自然数で、2、3、5のすくなくとも1つで割り切れる数の個数
A={x|2の倍数}、B={x|3の倍数}、C={x|5の倍数}、A∩B={x|6の倍数}、B∩C={x|15の倍数}、C∩A={x|10の倍数}、A∩B∩C={x|30の倍数}
n(A)=20, n(B)=13, n(C)=8、 n(A∩B)=6、 n(B∩C)=2、 n(C∩A)=4、 n(A∩B∩C)=1
n(A∪B∪C)= 20+13+8-6-2-4+1 = 30

例題と練習

問題

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