更新日2017/04/21

組合せ

要点

異なるn個のものからr個取り出し順序を考えず組にしたものを組合せという。

組合せ

n個からr個取る組合せを nCr とあらわす。


(A,B,C)という3つの文字について
3個のものから3個取り出して並べる順列は3P3=3!=6である。
順列では(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)を異なるものとして数える。
組合せでは(A,B,C)はこの組しかないので3C3=1となる。


5P3では5個から3個取り出して並べるが、
取り出す組合せと並べ方を分けて考えると
5個から3個取り出す組合せは5C3、取り出した3個の並べ方は3!なので
5P3=5C3×3!と表せる。
これを一般化して nPr= nCr×r! が得られる


組合せの総数
nCr=nPrr!=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)r!
nCr=n!r!(n-r)!
0!=1から nCn=1,   nC0=1

【例】 7C3 = 7・6・5÷3!=35  12C4=12・11・10・9÷4!=495

nCrの性質

異なるn個からr個を取り出すとき、r個選ぶことと残す(n-r)個を選ぶことは同じなので
nCr = nCn-rである。


n個の文字(A,B,C・・・・)からr個取り出すとき、
特定の文字Aを含む組合せは
先にAを取り出しておいて、のこりから(r-1)個取り出す組合せである。
n-1Cr-1
特定の文字Aを含まない組合せは
Aを含まない(n-1)個からr個取り出す組合せである
n-1Cr
和の法則から nCr=n-1Cr-1+n-1Crとなる。

nCrの性質
nCr = nCn-r  ただし0≦r≦n
nCr=n-1Cr-1+n-1Cr ただし1≦r≦n-1, n≧2

【例】 16C14=16C2=16・15÷2!=120

例題と練習

問題

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