更新日2017/05/20

確率の基本性質

要点

積事象と和事象

積事象

「AとBがともにおこる」 A∩Bと表す U A B A B

和事象

「AまたはBがおこる」 A∪Bと表す U A B A B

【例】
1個のサイコロを投げる試行で
素数の目が出る事象をA, 4以上の目が出る試行をBとする。
A={2,3,5}
B={4,5,6}
A∩B={5}
A∪B={2,3,4,5,6}
1 2 3 4 5 6

排反事象

ある試行で2つの事象A,Bが決して同時に起こらないとき(A∩B=∅)
A,Bは互いに排反である、または互いに排反事象であるという。
A B U A B


【例】
1個のサイコロを投げる試行で
3の倍数が出る事象をA、 4の約数が出る事象をBとする。
A={3,6}
B={1,2,4}
A∩B= ∅
AとBは互いに排反である
1 2 3 4 5 6

確率の基本性質

全事象Uと任意の事象Aの起こる場合の数について
0≦n(A)≦n(U)、また確率P(A)=n(A)n(U)なので
各辺をn(U)で割ると
0≦P(A)≦1 が得られる。
0≦P(A)≦1
特に P(∅)=0, P(U)=1

和事象の確率

積事象A∩Bと和事象A∪Bのおこる場合の数について
U A B A BA∪B A∩B n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
よって P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)となる。
和事象の確率
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

2つの事象A,Bが互いに排反のとき
P(A∩B)=0なので
P(A∪B)=P(A)+P(B)となる。(加法定理)

余事象の確率

全事象Uにおいて、事象Aに対して「Aがおこらない事象」をAの余事象といいAで表す。
余事象の確率
P(A)=1-P(A)

例題と練習

問題

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